BounceBall#05 ボールを反射させる - imoto-yuya-1234’s diary

ボールが四角に衝突したときの反射について考えます。

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上の図のよう各々のベクトルが決められたとき、ボールの進行ベクトル ${\bf v}$ と反射ベクトル ${\bf v'}$ 、平行ベクトル ${\bf p}$ でなされる大きな三角に着目すると求めたい ${\bf v'}$ は下記の通りです。

${ {\bf v'} = 2{\bf p} - {\bf v} \tag{1} \label{1} }$

ここで ${\bf v}$ は既知ですので、 ${\bf p}$ を求めればよいです。
${\bf v}$ と ${\bf p}$ 、法線ベクトルの定数倍である ${a{\bf n}}$ でなされる小さな三角に着目すれば、

${ {\bf p} = a{\bf n} + {\bf v} \tag{2} \label{2} }$

となるので、式\eqref{1}に代入して、

$\begin{eqnarray}{\bf v'}&=&2( a{\bf n} + {\bf v} ) - {\bf v}\\ &=&{\bf v} + 2a{\bf n} \tag{3} \label{3}\end{eqnarray}$

が得られます。既知である反射面のベクトルからその法線ベクトル ${\bf n}$ を求められるので、定数aがわかれば反射ベクトル ${\bf v'}$ を求めることができます。

定数aを求めるために、再び ${\bf v}$ と ${\bf p}$ 、 ${a{\bf n}}$ でなされる小さな三角に着目します。この三角形の内積と三角関数の公式を用いれば、下記の2式が成立します。

$\begin{eqnarray}-{\bf v} \cdot {\bf n}&=&|{\bf v}||{\bf n}|\cos\theta \tag{4} \label{4}\\ \cos\theta &=& \frac{a |{\bf n}|}{|{\bf v}|} \tag{5} \label{5}\end{eqnarray}$

この2式から定数aが

$\begin{eqnarray}a = - \frac{{\bf v} \cdot {\bf n}}{|{\bf n}|^2} \tag{6} \label{6}\end{eqnarray}$

と求まるので、定数aを式\eqref{3}に代入して、反射ベクトル ${\bf v}$ を導くことができました。

$\begin{eqnarray}{\bf v'}&=&{\bf v} - 2 \frac{{\bf v} \cdot {\bf n}}{|{\bf n}|^2} {\bf n} \tag{7} \label{7}\end{eqnarray}$

BounceBallではこの式を実装してボールの反射を制御しています。
ベクトル計算をしたのは高校以来で、懐かしい気持ちになりました。大分前ですが、案外覚えているものだと感心?しています。

あと、本筋とは違いますが、前回からの数式はTexコマンドで数式を書いています。大学の時にレボート、論文で使っていたので苦労せず記述できました。(はてなブログへのTexコマンド導入方法でかなり手こずりましたが...)当時は今時Texとかwordでいいじゃん、等々言われましたが、どこかで役に立つものですね。